Rayonnement d'un corps noir : Exercice corrigé sur le Chapitre I : Introduction à la Physique Quantique
Énoncé de l'exercice:
Corrigé de l'exercice:
La probabilité associée à une valeur particulière E de l'énergie est proportionnelle à: \[\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\]
L'énergie moyenne d'un oscillateur s'écrit alors:\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\frac{\int_{0}^{\infty }{\ {\color{Blue} E}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}}{\int_{0}^{\infty }exp\left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}\]
Intégration par partie on trouve:
\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\frac{\left [-k_{B}{\color{Magenta} T} {\color{Blue} E}\exp \left ( \frac{-{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]_{0}^{\infty }+k_{B}{\color{Magenta} T}\int_{0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}{\left [ -k_{B}{\color{Magenta} T}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]_{0}^{\infty }}\]
\[=\frac{0+k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\left [ -k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\exp \left (- \frac{E}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right ) \right ]_{0}^{\infty }}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}=\frac{\left \langle k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{} \right \rangle^{2}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}=k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\]
Dans ces conditions, la densité spectrale d'énergie (obtenue par Rayleigh et Jeans "RJ"dans le cadre de la physique classique"cl") s'écrit:
\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{cl}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkOrange} \nu} ^{2}}{c^{^{3}}}k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}=\frac{8\pi k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}{c^{^{3}}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\]
Une telle expression ne reprend pas le résultat expérimental. De plus, elle aboutit à une densité d'énergie totale qui tend vers l'infini:
\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )d\nu =\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}d {\color{DarkOrange} \nu} ={\color{Red} \infty} !!!\]
Cette divergence est refusée physiquement. Ce résultat est nommé " Catastrophe ultraviolette"
2- Si on suppose maintenant que l'énergie d'un oscillateur ne peut être qu'un multiple d'une énergie finie (quantum d'énergie Eo):
a-L'énergie moyenne d'un oscillateur s'écrit alors:\[\left \langle {\color{Blue} E}\right \rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty }{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}{\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]
Le dénominateur constitue une somme géométrique de raison:\[exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]
soit:
\[\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=\lim_{n \to\infty }\left [ \frac{1-exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}{1-exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )} \right ]=\frac{1}{1-exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}\]
Quand au numérateur, il est, à une constante près, la dérivé de la somme géométrique ci-dessus:
\[\sum_{n=0}^{\infty }{\color{DarkGreen}n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}^{}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}^{}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]
\[=-{\color{Blue} E{_{0}}}^{}k_{B}{\color{Magenta} T}\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}\left ( \frac{1}{1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}}^{}k_{B}{\color{Magenta} T}\frac{\tfrac{-1}{k_{B}{\color{Magenta} T}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [ 1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]^{2}}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [ 1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]^{2}}\]
\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\tfrac{\tfrac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [1-\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]^{2}}}{\frac{1}{\left [1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]}} = \tfrac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )} {\left [1-\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]^{2}}\times \left [1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]\]
\[={\color{Blue} E{_{0}}^{}}\frac{\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}{1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]
Soit alors une densité d'énergie spectrale:
\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi }{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]
b- Pour que l'expression de la densité d'énergie spectrale ainsi trouvée puisse reconstituer la courbe expérimentale, il faut que la fréquence du rayonnement figure dans la fonction exponentielle puisque la densité doit s'annuler pour les hautes fréquences. Planck a trouvé que le quantum d'énergie Eo doit être proportionnel à la fréquence du rayonnement:\[{\color{Blue} E{_{0}}^{}}={\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}\]
Soit alors la loi de Planck donnant la densité d'énergie par unité de fréquence d'un corps noir à la température T(du corps à l'équilibre thermodynamique) s'écrit:\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )-1}\]
h étant le coefficient de proportionnalité introduit par Planck, appelé ainsi "Constante de Planck". La valeur qui a permis de reconstituer presque parfaitement l'expérience est:\[{\color{DarkRed} h}=6,62606957\times 10^{-34}J.s\]
c-Aux très basses fréquences:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} <<k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\] on peut écrire:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} <<k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\Rightarrow \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\simeq 0\Rightarrow \exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\simeq 1+\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\]
\[u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{} \left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\simeq \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{1+\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}-1}=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}=\frac{8\pi k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}=u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\]
Avec:
\[u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\]
Etant l'expression de la densité spectrale d'énergie à laquelle ont abouti Rayleigh et Jeans en se référant à des arguments de la physique classique.
d- A hautes fréquences:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} >>k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\]
on a:\[\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )>>1\]
Ceci nous permet d'écrire;\[u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{}\left ({\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\simeq \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\frac{1}{\exp \left (\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\exp \left (-\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]
De la forme:
\[A {\color{DarkOrange} \nu}^{3}\exp \left ( -B\frac{{\color{DarkOrange} \nu} }{{\color{Magenta} T}} \right ) =u{_{Wien}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\]
où:\[A=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\]
et:\[B=\frac{{\color{DarkRed} h}}{k{_{B}}^{}}\]
La distribution de Planck se comporte donc, à hautes fréquences(faibles longueur d'onde)comme la loi empirique trouvée par Wien dans le but de reprendre la courbe expérimentale relative au rayonnement du corps noir.
3- La densité d'énergie par unité de fréquence est liée à celle par unité de longueur d'onde par:
\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )d{\color{DarkOrange} \nu} =\int_{0}^{\infty }u\left ({\color{Cyan} \lambda} ,{\color{Magenta} T} \right )d{\color{Cyan} \lambda}\]
Avec:\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]
étant la densité d'énergie totale rayonnée par un corps noir à la température T
et\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu},{\color{DarkOrange} T} \right )\left ( u\left ( {\color{Cyan} \lambda} ,{\color{Magenta} T} \right ) \right )\]
étant la densité d'énergie par unité de fréquence(de longueur d'onde)
Comme:\[{\color{DarkOrange} \nu}=\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda}}\Rightarrow d{\color{DarkOrange} \nu}=-\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda}^{2}}d{\color{Cyan} \lambda}\]
\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{DarkOrange} \nu}\]
\[=\int_{{\color{Red} \infty}}^{ {\color{Red} 0}}\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{{\color{Cyan} \lambda} ^{3}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}\left ( -\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{2}}d{\color{Cyan} \lambda }\right )\]
Inverser les bornes et éliminer le signe "-"
\[=\int_{{\color{Red} 0}}^{ {\color{Red} \infty}}\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{Cyan} \lambda }\]
Il vient alors:
\[u\left ( {\color{Cyan} \lambda},{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}\]
Pour retrouver la loi de déplacement de Wien qui est :
\[{\color{Cyan} \lambda}{_{{\color{Orchid} max}}}^{}{\color{Magenta} T}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]
où:
\[{\color{Cyan} \lambda}{_{{\color{Orchid} max}}}\]
est la longueur d'onde correspondant au maximum de la densité d'énergie par unité de longueur d'onde,
il suffit de résoudre:
\[\frac{du\left ( {\color{Cyan} \lambda} ,{\color{Magenta} T} \right )}{d{\color{Cyan} \lambda} }=0\]
\[\Rightarrow \frac{d}{d{\color{Cyan} \lambda} }\left ( \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{c} }{{\color{Cyan} \lambda}k{_{B}}^{} {\color{Magenta} T}} \right )-1} \right )=0\]
On peut poser:
\[x=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\]
\[\frac{du\left ({\color{Cyan} \lambda}\left ( x \right ) ,{\color{Magenta} T} \right )}{d\lambda }=\frac{du\left ( {\color{Cyan} \lambda} \left ( x \right ),{\color{Magenta} T} \right )}{dx}\frac{dx}{d{\color{Cyan} \lambda} }\]
\[=-\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{2}k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\frac{d}{dx}\left ( \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}x \right )^{5}}{\left ({\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{1}{\exp \left ( x \right )-1} \right )\]
\[\Rightarrow -\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{{\color{DarkRed} h}c}x^{2}\left ( \frac{40\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} \right )^{5}x^{4}}{\left ( {\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{1}{\exp x-1}- \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}x \right )^{5}}{\left ( {\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{\exp }{\left (\exp x-1 \right )^{2}}\right )=0\]
\[\Rightarrow 5\left ( \exp x-1 \right )-x\exp x=0\Rightarrow \exp x\left ( 5-x \right )=5\]
\[\Rightarrow x=4.9651\Rightarrow x=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda }{_{{\color{Orchid} max}}}^{}k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}=4.9651\]
Soit alors:
\[{\color{Cyan} \lambda} {_{{\color{Orchid} max}}{\color{Magenta} T}}^{}=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{k{_{B}\times 4.9651}^{}}\]
\[=\frac{6.6260755\times 10^{^{-34}}{\color{Red} J.s}\times 2.997924562\times 10^{8}{\color{Red} m.s^{-1}}}{1.380649\times 10^{-23}{\color{Red} J.K^{-1}}\times 4.9651}\]
\[=2.89778\times 10^{-3}{\color{Red} m.K}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]
Soit la loi de déplacement de Wien:
\[{\color{Cyan} \lambda} {_{{\color{Orchid} max}}{\color{Magenta} T}}^{}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]
4-La loi de Stefan-Boltzmann énonce que la puissance rayonnée par unité de surface d'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est proportionnelle à la puissance quatrième de la température. Cette loi se déduit des résultats précédents. En effet, cette puissance s'écrit:
\[P=\frac{c}{4}\times U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]
Avec:
\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]
Etant la densité d'énergie électromagnétique totale rayonnée par un corps noir à l'équilibre thermodynamique et à la température T. Elle s'écrit:
\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )d{\color{DarkOrange} \nu} =\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{DarkOrange} \nu}\]
Si on pose:
\[x=\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\]
\[\Rightarrow {\color{DarkOrange} \nu}=\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} }{{\color{DarkRed} h}}x\]
\[\Rightarrow d{\color{DarkOrange} \nu}=\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} }{{\color{DarkRed} h}}dx\]
\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\int_{0}^{\infty }\frac{x ^{3}}{\exp\left ( x \right ) -1}dx \right ]{\color{Magenta} T}^{4}\]
Comme:
\[\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{\exp x-1}dx=\frac{\pi ^{4}}{15}\]
Il vient:
\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\frac{\pi^{4}}{15}\right ]{\color{Magenta} T}^{4}\]
et:
\[P=\frac{c}{4}\times \left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\frac{\pi^{4}}{15}\right ]{\color{Magenta} T}^{4}=\frac{2\pi^{5}k{_{B}}^{4}}{15c^{2}h^{3}}{\color{Magenta} T}^{4}=\sigma {\color{Magenta} T}^{4}\]
Avec:
\[\sigma =\frac{2\pi^{5}k{_{B}}^{4}}{15c^{2}h^{3}}=5.67\times 10^{-8}W.m^{-2}.K^{-4}\]
fin du corrigé
Attendez d'autres exercices corrigés ....
