Physique Quantique

Énoncé de l'exercice:

Corrigé de l'exercice:

La probabilité associée à une valeur particulière E de l'énergie est proportionnelle à: \[\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\]

L'énergie moyenne d'un oscillateur s'écrit alors:\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\frac{\int_{0}^{\infty }{\ {\color{Blue} E}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}}{\int_{0}^{\infty }exp\left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}\]

Intégration par partie on trouve:

\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\frac{\left [-k_{B}{\color{Magenta} T} {\color{Blue} E}\exp \left ( \frac{-{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]_{0}^{\infty }+k_{B}{\color{Magenta} T}\int_{0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )d{\color{Blue} E}}{\left [ -k_{B}{\color{Magenta} T}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]_{0}^{\infty }}\]

\[=\frac{0+k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\left [ -k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\exp \left (- \frac{E}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right ) \right ]_{0}^{\infty }}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}=\frac{\left \langle k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{} \right \rangle^{2}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}=k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\]

Dans ces conditions, la densité spectrale d'énergie (obtenue par Rayleigh et Jeans "RJ"dans le cadre de la physique classique"cl") s'écrit:

\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{cl}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkOrange} \nu} ^{2}}{c^{^{3}}}k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}=\frac{8\pi k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}{c^{^{3}}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\]

Une telle expression ne reprend pas le résultat expérimental. De plus, elle aboutit à une densité d'énergie totale qui tend vers l'infini:

\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )d\nu =\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}d {\color{DarkOrange} \nu} ={\color{Red} \infty} !!!\]

Cette divergence est refusée physiquement. Ce résultat est nommé " Catastrophe ultraviolette"

2- Si on suppose maintenant que l'énergie d'un oscillateur ne peut être qu'un multiple d'une énergie finie (quantum d'énergie Eo):

a-L'énergie moyenne d'un oscillateur s'écrit alors:\[\left \langle {\color{Blue} E}\right \rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty }{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}{\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]

Le dénominateur constitue une somme géométrique de raison:\[exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]

soit:

\[\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=\lim_{n \to\infty }\left [ \frac{1-exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}{1-exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )} \right ]=\frac{1}{1-exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}\]

Quand au numérateur, il est, à une constante près, la dérivé de la somme géométrique ci-dessus:

\[\sum_{n=0}^{\infty }{\color{DarkGreen}n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}^{}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}^{}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}\sum_{n=0}^{\infty }\exp \left ( -\frac{{\color{DarkGreen} n}{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]

\[=-{\color{Blue} E{_{0}}}^{}k_{B}{\color{Magenta} T}\frac{d}{d{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}\left ( \frac{1}{1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )} \right )=-{\color{Blue} E{_{0}}}^{}k_{B}{\color{Magenta} T}\frac{\tfrac{-1}{k_{B}{\color{Magenta} T}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [ 1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]^{2}}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [ 1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E{_{0}}}^{}}{k_{B}{\color{Magenta} T}} \right )\right ]^{2}}\]

\[\left \langle {\color{Blue} E} \right \rangle=\tfrac{\tfrac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}{\left [1-\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]^{2}}}{\frac{1}{\left [1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]}} = \tfrac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )} {\left [1-\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]^{2}}\times \left [1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right ) \right ]\]

\[={\color{Blue} E{_{0}}^{}}\frac{\exp \left ( -\frac{ {\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}{1-\exp \left ( -\frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )}=\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E}{_{0}}^{}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]

Soit alors une densité d'énergie spectrale:

\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi }{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{\exp \left ( \frac{{\color{Blue} E{_{0}}^{}}}{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}\]

b- Pour que l'expression de la densité d'énergie spectrale ainsi trouvée puisse reconstituer la courbe expérimentale, il faut que la fréquence du rayonnement figure dans la fonction exponentielle puisque la densité doit s'annuler pour les hautes fréquences. Planck a trouvé que le quantum d'énergie Eo doit être proportionnel à la fréquence du rayonnement:\[{\color{Blue} E{_{0}}^{}}={\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}\]

Soit alors la loi de Planck donnant la densité d'énergie par unité de fréquence d'un corps noir à la température T(du corps à l'équilibre thermodynamique) s'écrit:\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )-1}\]

h étant le coefficient de proportionnalité introduit par Planck, appelé ainsi "Constante de Planck". La valeur qui a permis de reconstituer presque parfaitement l'expérience est:\[{\color{DarkRed} h}=6,62606957\times 10^{-34}J.s\]

c-Aux très basses fréquences:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} <<k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\] on peut écrire:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} <<k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\Rightarrow \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\simeq 0\Rightarrow \exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\simeq 1+\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}}\]

\[u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{} \left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\simeq \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{1+\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}-1}=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}=\frac{8\pi k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}=u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\]

Avec:

\[u{_{RJ}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{c^{3}}{\color{DarkOrange} \nu} ^{2}\]

Etant l'expression de la densité spectrale d'énergie à laquelle ont abouti Rayleigh et Jeans en se référant à des arguments de la physique classique.

d- A hautes fréquences:\[{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} >>k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}\]

on a:\[\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )>>1\]

Ceci nous permet d'écrire;\[u{_{{\color{Cyan} Planck}}}^{}\left ({\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\simeq \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\frac{1}{\exp \left (\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )}=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{c^{3}}\exp \left (-\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu}}{k{_{B}{\color{Magenta} T}}^{}} \right )\]

De la forme:

\[A {\color{DarkOrange} \nu}^{3}\exp \left ( -B\frac{{\color{DarkOrange} \nu} }{{\color{Magenta} T}} \right ) =u{_{Wien}}^{}\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )\]

où:\[A=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\]

et:\[B=\frac{{\color{DarkRed} h}}{k{_{B}}^{}}\]

La distribution de Planck se comporte donc, à hautes fréquences(faibles longueur d'onde)comme la loi empirique trouvée par Wien dans le but de reprendre la courbe expérimentale relative au rayonnement du corps noir.

3- La densité d'énergie par unité de fréquence est liée à celle par unité de longueur d'onde par:

Avec:\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]

étant la densité d'énergie totale rayonnée par un corps noir à la température T

et\[u\left ( {\color{DarkOrange} \nu},{\color{DarkOrange} T} \right )\left ( u\left ( {\color{Cyan} \lambda} ,{\color{Magenta} T} \right ) \right )\]

étant la densité d'énergie par unité de fréquence(de longueur d'onde)

Comme:\[{\color{DarkOrange} \nu}=\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda}}\Rightarrow d{\color{DarkOrange} \nu}=-\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda}^{2}}d{\color{Cyan} \lambda}\]

\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{DarkOrange} \nu}\]

\[=\int_{{\color{Red} \infty}}^{ {\color{Red} 0}}\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{{\color{Cyan} \lambda} ^{3}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}\left ( -\frac{c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{2}}d{\color{Cyan} \lambda }\right )\]

Inverser les bornes et éliminer le signe "-"

\[=\int_{{\color{Red} 0}}^{ {\color{Red} \infty}}\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{Cyan} \lambda }\]

Il vient alors:

\[u\left ( {\color{Cyan} \lambda},{\color{Magenta} T} \right )=\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}c }{k{_{B}}^{}{\color{Cyan} \lambda} {\color{Magenta} T}} \right )-1}\]

Pour retrouver la loi de déplacement de Wien qui est :

\[{\color{Cyan} \lambda}{_{{\color{Orchid} max}}}^{}{\color{Magenta} T}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]

où:

\[{\color{Cyan} \lambda}{_{{\color{Orchid} max}}}\]

est la longueur d'onde correspondant au maximum de la densité d'énergie par unité de longueur d'onde,

il suffit de résoudre:

\[\frac{du\left ( {\color{Cyan} \lambda} ,{\color{Magenta} T} \right )}{d{\color{Cyan} \lambda} }=0\]

\[\Rightarrow \frac{d}{d{\color{Cyan} \lambda} }\left ( \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{5}}\frac{1}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{c} }{{\color{Cyan} \lambda}k{_{B}}^{} {\color{Magenta} T}} \right )-1} \right )=0\]

On peut poser:

\[x=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\]

\[\frac{du\left ({\color{Cyan} \lambda}\left ( x \right ) ,{\color{Magenta} T} \right )}{d\lambda }=\frac{du\left ( {\color{Cyan} \lambda} \left ( x \right ),{\color{Magenta} T} \right )}{dx}\frac{dx}{d{\color{Cyan} \lambda} }\]

\[=-\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda} ^{2}k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\frac{d}{dx}\left ( \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}x \right )^{5}}{\left ({\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{1}{\exp \left ( x \right )-1} \right )\]

\[\Rightarrow -\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}{{\color{DarkRed} h}c}x^{2}\left ( \frac{40\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} \right )^{5}x^{4}}{\left ( {\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{1}{\exp x-1}- \frac{8\pi {\color{DarkRed} h}c\left ( k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}x \right )^{5}}{\left ( {\color{DarkRed} h}c \right )^{5}}\frac{\exp }{\left (\exp x-1 \right )^{2}}\right )=0\]

\[\Rightarrow 5\left ( \exp x-1 \right )-x\exp x=0\Rightarrow \exp x\left ( 5-x \right )=5\]

\[\Rightarrow x=4.9651\Rightarrow x=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{{\color{Cyan} \lambda }{_{{\color{Orchid} max}}}^{}k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}=4.9651\]

Soit alors:

\[{\color{Cyan} \lambda} {_{{\color{Orchid} max}}{\color{Magenta} T}}^{}=\frac{{\color{DarkRed} h}c}{k{_{B}\times 4.9651}^{}}\]

\[=\frac{6.6260755\times 10^{^{-34}}{\color{Red} J.s}\times 2.997924562\times 10^{8}{\color{Red} m.s^{-1}}}{1.380649\times 10^{-23}{\color{Red} J.K^{-1}}\times 4.9651}\]

\[=2.89778\times 10^{-3}{\color{Red} m.K}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]

Soit la loi de déplacement de Wien:

\[{\color{Cyan} \lambda} {_{{\color{Orchid} max}}{\color{Magenta} T}}^{}={\color{Blue} C{_{0}}^{}}\]

4-La loi de Stefan-Boltzmann énonce que la puissance rayonnée par unité de surface d'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est proportionnelle à la puissance quatrième de la température. Cette loi se déduit des résultats précédents. En effet, cette puissance s'écrit:

\[P=\frac{c}{4}\times U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]

Avec:

\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )\]

Etant la densité d'énergie électromagnétique totale rayonnée par un corps noir à l'équilibre thermodynamique et à la température T. Elle s'écrit:

\[U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\int_{0}^{\infty }u\left ( {\color{DarkOrange} \nu} ,{\color{Magenta} T} \right )d{\color{DarkOrange} \nu} =\int_{0}^{\infty }\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\frac{{\color{DarkOrange} \nu} ^{3}}{\exp \left ( \frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}} \right )-1}d{\color{DarkOrange} \nu}\]

Si on pose:

\[x=\frac{{\color{DarkRed} h}{\color{DarkOrange} \nu} }{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T}}\]

\[\Rightarrow {\color{DarkOrange} \nu}=\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} }{{\color{DarkRed} h}}x\]

\[\Rightarrow d{\color{DarkOrange} \nu}=\frac{k{_{B}}^{}{\color{Magenta} T} }{{\color{DarkRed} h}}dx\]

\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\int_{0}^{\infty }\frac{x ^{3}}{\exp\left ( x \right ) -1}dx \right ]{\color{Magenta} T}^{4}\]

Comme:

\[\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{\exp x-1}dx=\frac{\pi ^{4}}{15}\]

Il vient:

\[\Rightarrow U\left ( {\color{Magenta} T} \right )=\left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\frac{\pi^{4}}{15}\right ]{\color{Magenta} T}^{4}\]

et:

\[P=\frac{c}{4}\times \left [\frac{8\pi {\color{DarkRed} h}}{c^{3}}\left (\frac{k{_{B}}^{}}{{\color{DarkRed} h}} \right )^{4}\frac{\pi^{4}}{15}\right ]{\color{Magenta} T}^{4}=\frac{2\pi^{5}k{_{B}}^{4}}{15c^{2}h^{3}}{\color{Magenta} T}^{4}=\sigma {\color{Magenta} T}^{4}\]

Avec:

\[\sigma =\frac{2\pi^{5}k{_{B}}^{4}}{15c^{2}h^{3}}=5.67\times 10^{-8}W.m^{-2}.K^{-4}\]

fin du corrigé

Attendez d'autres exercices corrigés ....

Chapitre I : Introduction à la physique quantique

I-Introduction: Une nouvelle théorie la physique quantique:

La physique de la fin du 19ème siècle est communément nommée "Physique classique". A cette époque, cette physique semblait un édifice achevé. Cette physique reposait sur deux disciplines fondamentales: la mécanique corpusculaire qui conduisait à la thermodynamique et la théorie électromagnétique de Maxwell qui commandait l'électricité et l'optique.

La physique classique dissociait donc les systèmes en deux catégories :

- La matière faite de corpusculaires parfaitement localisables et définis à chaque instant par leurs positions et leurs vitesses. Toutes les grandeurs physiques qui caractérisent l'état du système sont mesurables, en principe, avec une précision aussi grande que l'on veut et l'évolution du système obéit à un déterminisme rigoureux.(A titre d'exemple consulter celui de la Fig.1)

- Les champs qui à l'inverse de la matière sont continûment distribués dans l'espace. En particulier, ils possèdent la propriété de se propager et avoir un aspect ondulatoire.(Voir à titre d'exemple Fig.2)

Au début du 20ème siècle, certains faits expérimentaux, tels que le rayonnement du corps noir, l'effet photoélectrique, le spectre atomique,....ont mis en défaut cette dichotomie (division)champ-matière de la physique classique. Ceci a conduit progressivement les physiciens à introduire une nouvelle théorie pour la physique appelée: Physique quantique.

Suite à l’apparition de la physique quantique, les notions de la physique classiques sont complètement bouleversées. En particulier, le rayonnement ainsi que la matière ont le double aspect corpusculaire et ondulatoire, l'évolution d'un système quantique est gouvernée par des lois de probabilité au lieu d'obéir à un déterminisme absolu, il n'est plus possible de mesurer la position et la vitesse en même temps,.....

Les étapes majeurs de cette révolution se sont déroulées entre 1900 et 1925.

II- Des expériences ont mis en défaut la dichotomie champ-matière de la physique classique

1- Rayonnement du corps noir

Historiquement, le rayonnement thermique ou encore rayonnement du corps noir a apporté la 1ère preuve de l'échec de la physique classique.

Expérimentalement, le physicien autrichien Jozef Stefan a pu établir que la densité d'énergie

(énergie par unité de volume) totale rayonnée par un corps noir(Voir Fig.3), à une température T, est proportionnelle à la quatrième puissance de la température T:

  En 1893, Wilhem Wien a apporté une information supplémentaire sur l'allure du spectre en montrant la relation empirique suivante:

Avec:
étant la longueur d'onde correspondant au maximum de la densité spectrale d'énergie
et:

étant une constante appelée constante de Wien.
Cette relation porte le nom de la loi de déplacement de Wien(Fig.4).

Dans le cadre de la physique classique, Rayleigh et Jeans ont travaillé sur un modèle théorique visant à comprendre la distribution de la densité spectrale d'un corps noir. Les arguments physiques de l'époque ont abouti à l'expression suivante:

Avec:

étant la constante de Boltzmann

   Cette expression décrit le système dans le domaine des faibles fréquences mais ne permet de comprendre pourquoi il y'a une chute d'intensité pour les ultraviolets. Cet échec théorique avait tellement affecté les physiciens de l'époque que cette expression de densité obtenue par Rayleigh et Jeans porte le nom de la "catastrophe ultraviolette".(Voir Fig.5)

Wien a proposé une forme empirique pour la densité spectrale d'un corps noir afin d'éviter sa divergence aux grandes fréquences:

C'était Max Plank qui a émis, en 1900, l'hypothèse qui permet de reconstituer presque parfaitement cette courbe. Cette hypothèse déclare que les énergies permises pour un
oscillateur (un corps noir est modélisé par un ensemble d'oscillateurs harmoniques absorbant ou émettant la lumière) ne peuvent être que des multiples entiers d'une quantité proportionnelle à sa fréquence d'oscillation. Ce coefficient de proportionnalité étant sa fameuse constante h:

Ainsi, contrairement aux notions de la physique classique qui stipulent que l'énergie émise par un oscillateur est une fonction continue ( peut balayer toutes les valeurs de zéro à l'infini), Planck suppose qu'un oscillateur ne peut pas avoir une énergie quelconque mais doit occuper un état discret d'énergie:

Avec l'hypothèse de quantification des vibrations des matériaux,  la densité d'énergie spectrale s'écrit:

  Cette expression porte le nom de la loi de Planck pour le rayonnement d'un corps noir. Elle
est presque en parfait accord avec la courbe expérimentale.

2- L'effet photoélectrique

L'effet photoélectrique constitue un autre résultat expérimental qui ne trouve pas une explication dans le cadre de la physique classique:

A la fin du 19ème siècle, les physiciens ont remarqué que l'énergie cinétique des électrons émis par un métal éclairé avec une lumière dépend de la fréquence de cette lumière et leur nombre dépend de son intensité.

L'expérience montre que l'émission des électrons ne se produit pas si la fréquence de la lumière incidente est au dessous d'un certain seuil, même si l'on attend très longtemps(Fig.6).

Classiquement, la densité d'énergie électromagnétique est proportionnelle à l'intensité lumineuse. Il est ainsi, possible d'accumuler autant d'énergie que l'on veut dans le métal en l'éclairant suffisamment longtemps et ce quelque soit la fréquence du rayonnement incident considéré. Il ne devrait donc pas y avoir de seuil!

Inspiré de l'hypothèse de Planck, Einstein a proposé en 1905, une hypothèse simple expliquant le phénomène: Le rayonnement électromagnétique est formé de "grains de lumière". Chaque grain, appelé après photon, étant porteur d'un quantum d'énergie. Lorsqu'un photon tombe sur le métal, il communique toute son énergie à un électron de la bande de conduction. Si cette énergie est supérieure à l'énergie d'extraction, donc à une énergie de seuil fixe, cet électron peut sortir du métal et posséder une énergie cinétique:

Avec

désigne l'énergie d'extraction de l'électron(Fig.7).

Cet travail a valu à Einstein le titre de docteur en physique théorique en 1905 et le prix Nobel de physique en 1921.

3- Spectre de l'atome:

La physique classique s'est trouvée aussi devant un double défi:

1-Un spectre atomique discret obtenu par Balmer et Rydberg obeillant à la forme empirique suivante:

Avec:

sont respectivement deux entiers positifs et la constante de Rydberg.

2-Effondrement du modèle planétaire de Rutherford : Etant une particule chargée, un électron qui gravite autour du noyau devrait émettre continuellement des ondes électromagnétiques et à cause de cette perte d'énergie, il devrait, en un temps très court, s'écraser sur le noyau(Fig.8). Les atomes classiques sont donc instables ce que l'expérience contredit manifestement !

C'est Danois Niels Bohr qui a proposé un modèle semi-classique permettant de contourner ces difficultés:

-Il existe des orbites stables dites permises définies par la quantification du moment angulaire:

Chacune de ces orbites est caractérisée par une valeur d'énergie.Ce sont les seules orbites sur lesquelles un électron peut se trouver et graviter. Ainsi, un atome ne peut avoir une énergie quelconque mais des valeurs discrètes et bien définies d'énergie.

-L'électron peut passer d'une orbite permise à une orbite permise en émettant ou en recevant de la lumière d'une fréquence bien précise, liée à la différence des énergies des deux orbites conformément à la relation de Planck-Einstein (Fig.8):

III- Classique-Quantique:

Quand dans un système physique, une variable ayant la dimension d'une action:

prend une valeur numérique de l'ordre de la constante de Planck, le système doit être étudié

prend une valeur numérique de l'ordrede la constante de Planck, le système doit être étudié dans le cadre de la physique quantique. Par contre, si cette variable une valeur beaucoup plus grande que h, les lois de la physique classique sont applicables.

Il est à noter que ce critère n'est qu'approximatif: Il existe des systèmes physiques où la variable d'action est de l'ordre de la constante de Planck et la physique classique n'est pas totalement inapplicable. Inversement, il existe des systèmes macroscopiques, tels que les lasers, les métaux supraconducteurs,... qui présentent des phénomènes quantiques.
IV-Conclusion
La théorie du quanta est le nom donné à la théorie physique qui a tenté de modéliser le comportement de l'énergie à l'aide des quantités discontinues d'énergie appelée quanta. Son introduction a bousculé plusieurs idées de la physique de l'époque. Elle a servi de pont entre la physique classique et la physique quantique(née en 1925). Elle a été initiée par Max Planck en 1900 puis développée essentiellement par Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Hendrik Anthony Kramers, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Erwin Schrödinger et Louis de Broglie entre 1905 et 1924.

Physique Quantique

Bonjour, je suis